보의 처짐 - 처짐 곡선의 미분 방정식

처짐 곡선의 미분 방정식

$$ \frac{d^2v}{dx^2} = \frac{M}{EI} $$

최종적으로 얻어야 할 식은 \( \frac{d^2v}{dx^2} = \frac{M}{EI} \)다. 처짐 곡선의 미분 방정식을 이용해서 특정한 지점의 처짐 \( v \)와 처짐각 \( \theta \)를 얻을 수 있다.

 

\( \)

$$ \rho d \theta=ds $$

곡률 반지름 \( \rho \)와 \(  d\theta \)를 곱하면 \( ds \)를 구하는 식이 나온다. 

 

$$  ds \approx dx \qquad \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{d\theta}{dx} $$

회전각 \( \theta \)가 매우 작은 각으로 가정해 \( ds=dx\)로 볼 수 있다. 그럼 다시 곡률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \theta \approx tan\theta = \frac{dv}{dx} $$

또한 처짐각 \( \theta \)가 매우 작다고 가정하면 \( \theta \)는 보의 기울기와 같다고 할 수 있다.

 

$$ \frac{d\theta}{dx} = \frac{d^2v}{dx^2} $$

처짐각\( \theta\)를 \( x\)에 관해 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

$$ \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{d\theta}{dx} = \frac{d^2v}{dx^2} $$

지금까지 나온 식을 곡률에 관한 식으로 나타낸다.

 

$$ \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI} = \frac{d^2v}{dx^2} $$

모멘트-곡률 관계식(moment-curvature)과 처짐-곡률 관계식을 대입해보면 다음과 같은 식이 나온다.

 

$$  EI\frac{d^2v}{dx^2} = M $$

이를 통해 처짐 곡선에 관한 미분 방정식을 얻을 수 있다. 

 

$$ \frac{dV}{dx} = -q \qquad \frac{dM}{dx} = V $$

$$ EI\frac{d^2v}{dx^2} = M \qquad EI\frac{d^3v}{dx^3} = V \qquad  EI\frac{d^4v}{dx^4} = -q $$

$$ v' =\frac{dv}{dx} \qquad v'' =\frac{d^2v}{dx^2} \qquad v'''=\frac{d^3v}{dx^3} \qquad v''''=\frac{d^4v}{dx^4} $$

$$ EIv''=M \qquad EIv''' = V \qquad EIv'''' = -q $$